Probabilidad condicional: fórmula y ejemplo con tabla

La probabilidad condicional mide la probabilidad de un evento A al restringir el análisis a los casos donde ocurre otro evento B. Se escribe P(A | B) y se lee probabilidad de A dado B. La condición cambia el grupo de referencia y, por tanto, el denominador del cálculo.

La fórmula es P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0. El símbolo ∩ representa la ocurrencia conjunta. En una tabla de recuentos, suele bastar dividir los casos que cumplen ambas condiciones entre el total de casos que cumplen la condición indicada después de la barra.

Antes de calcular, define exactamente los eventos

Un evento reúne resultados del espacio muestral. La introducción a la terminología de probabilidad de OpenStax distingue resultados, eventos y probabilidades. Esta base importa porque expresiones vagas como tener éxito pueden referirse a situaciones diferentes si no se define el criterio.

En el ejemplo, A será aprobar una evaluación y B será asistir a un taller. El experimento consiste en elegir al azar a una persona entre las 200 registradas. Los números son hipotéticos y sirven para practicar; no representan una investigación sobre la eficacia de los talleres.

Ejemplo completo con 200 estudiantes

Para calcular P(A | B), primero selecciona a quienes asistieron. Son 60 personas; 48 aprobaron. Por tanto, P(A | B) = 48/60 = 0.80 = 80%. La pregunta completa es: si sabemos que la persona seleccionada asistió, ¿qué probabilidad hay de que haya aprobado?

No se divide entre 200 porque la condición ya restringió el conjunto. Dividir 48/200 daría 0.24, la probabilidad conjunta de asistir y aprobar al elegir dentro de todo el grupo. Los dos valores son correctos, pero responden preguntas diferentes.

Las tablas de contingencia facilitan esta distinción. Las celdas interiores permiten localizar intersecciones; los totales por fila o columna muestran los tamaños de los grupos condicionantes. Antes de operar, identifica cuál de esos totales corresponde a la información conocida.

Por qué P(A | B) no es P(B | A)

Si ahora preguntamos por la probabilidad de haber asistido dado que la persona aprobó, el grupo cambia. Hay 132 aprobados y 48 de ellos asistieron. Así, P(B | A) = 48/132 ≈ 0.3636, es decir, aproximadamente 36.36%. El numerador coincide, pero el denominador no.

La diferencia no es un detalle de notación. Confundir ambas preguntas puede producir interpretaciones equivocadas en selección de estudiantes, control de calidad o evaluación de pruebas. La información condicionante debe conservarse al pasar de una frase a una fórmula y de la fórmula a la conclusión.

Conectar la condición con la probabilidad conjunta

La regla de multiplicación de probabilidades se expresa como P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B). En nuestro ejemplo, P(B) = 60/200 = 0.30; entonces 0.30 × 0.80 = 0.24, consistente con 48/200.

También podemos recuperar la condición inversa: P(B | A) = P(A | B) × P(B) / P(A). Como P(A) = 132/200 = 0.66, resulta 0.80 × 0.30 / 0.66 ≈ 0.3636. Esta forma muestra por qué no basta conocer el 80% para contestar la pregunta inversa.

El cálculo necesita la proporción de asistentes y la de aprobados en el conjunto. Si solo alguien afirma que 80% de quienes asistieron aprobó, faltan datos para determinar qué porcentaje de todos los aprobados asistió. Un resultado condicionado no describe automáticamente el tamaño del grupo que lo genera.

Cómo reconocer independencia

Dos eventos son independientes cuando conocer uno no cambia la probabilidad del otro. Si P(B) > 0, una forma de expresarlo es P(A | B) = P(A). En nuestra tabla, 0.80 es distinto de 0.66; por tanto, los eventos no son independientes dentro de esta distribución empírica.

OpenStax distingue eventos independientes y mutuamente excluyentes. Excluyentes significa que no pueden ocurrir juntos. Asistir y aprobar sí pueden coincidir, como muestran las 48 personas de la primera celda. No son excluyentes.

Además, una diferencia observada en una muestra no basta para afirmar que existe una dependencia demostrada en toda la población. Generalizar requiere un diseño adecuado y, según la pregunta, herramientas de estadística inferencial. Aquí describimos exactamente los 200 registros del ejemplo.

La condición no demuestra el efecto de una intervención

Entre los no asistentes, la proporción de aprobación es 84/140 = 60%, frente al 80% entre asistentes. La diferencia observada es de 20 puntos porcentuales. Eso no significa que el taller haya causado por sí solo ese aumento: los grupos podrían diferir en preparación previa, tiempo disponible o criterios de inscripción.

Para estudiar un efecto causal habría que considerar cómo se formaron los grupos y qué otras variables intervinieron. La investigación cualitativa puede ayudar a documentar motivos de asistencia, pero tampoco sustituye por sí sola una estrategia válida para identificar causalidad.

Un procedimiento breve para nuevos ejercicios

Escribe primero la pregunta completa y asigna nombres a los eventos. Después identifica la condición, restringe la tabla a ese grupo y localiza dentro de él los casos favorables. Divide, comprueba que el resultado esté entre cero y uno y vuelve a expresarlo con la condición incluida.

Si el denominador es cero, esta definición no permite calcular la probabilidad condicional a partir de esa tabla. No corresponde reemplazarla automáticamente por cero. Conservar el grupo de referencia y reconocer cuándo faltan datos hace que el cálculo sea útil y evita conclusiones que los números no sostienen.