Muestreo aleatorio simple: selección y ejemplo resuelto

El muestreo aleatorio simple es un diseño probabilístico en el que todas las muestras posibles de un tamaño dado tienen la misma probabilidad de selección. En su versión sin reposición, cada unidad aparece como máximo una vez. La definición se refiere al mecanismo del sorteo, no a que la muestra final tenga un aspecto equilibrado.

Este diseño es una referencia básica para estudiar cómo una parte de la población permite estimar características del conjunto. Aplicarlo correctamente requiere una población delimitada, un listado adecuado y una selección verdaderamente aleatoria. Aquí se desarrolla la versión sin reposición, desde un ejemplo pequeño hasta la estimación de una media.

Qué significa que todas las muestras sean equiprobables

La población es el conjunto de unidades sobre el que interesa concluir. Puede ser el alumnado matriculado en una fecha o los expedientes tramitados durante un período. Una muestra es el subconjunto observado. Antes de sortear, deben fijarse los criterios de inclusión y la unidad: persona, expediente y trámite no son equivalentes.

Suponga cuatro expedientes A, B, C y D, de los que se seleccionan dos. Las muestras posibles son AB, AC, AD, BC, BD y CD. Hay seis combinaciones, cada una con probabilidad 1/6. Cada expediente aparece en tres combinaciones y tiene probabilidad de inclusión 3/6 = 1/2.

La probabilidad de inclusión individual es n/N en este diseño. La de que dos unidades distintas estén juntas es n(n − 1)/[N(N − 1)]. La segunda expresión muestra que las inclusiones no son independientes: al seleccionar sin reposición, ocupar un lugar modifica las posibilidades disponibles para las demás unidades.

Esta dependencia no invalida el muestreo. Forma parte de su diseño y se incorpora al calcular la incertidumbre. Confundir aleatoriedad con independencia absoluta lleva a usar fórmulas inadecuadas cuando la muestra representa una fracción importante de la población. La estadística inferencial conecta precisamente selección y estimación.

El marco muestral y los límites de la cobertura

El marco muestral es la lista o estructura operativa que permite identificar y seleccionar unidades. Para un sorteo directo, cada unidad elegible debe aparecer una vez y disponer de un identificador inequívoco. Un listado con duplicados otorga oportunidades adicionales a algunas unidades; un listado incompleto excluye a otras antes de cualquier sorteo.

Si se estudia alumnado matriculado, una lista de personas que respondieron antes una encuesta no equivale al registro completo. El sorteo sería aleatorio dentro de ese grupo, pero no resolvería la exclusión del resto. La población objetivo y la población cubierta por el marco deben distinguirse al informar el alcance de los resultados.

La fecha del marco también importa. Altas, bajas y cambios de elegibilidad pueden volverlo inadecuado para el período estudiado. Conservar una copia de la versión usada permite auditar el sorteo. Las actualizaciones posteriores deben documentarse sin alterar silenciosamente la lista a la que se aplicó el procedimiento original.

La no respuesta aparece después de seleccionar: una persona sorteada puede no contestar. Sustituirla por alguien disponible no conserva automáticamente el diseño original. Antes del trabajo de campo deben definirse intentos de contacto, registro de incidencias y, si corresponde, un procedimiento de reservas o ajustes cuya implicación estadística esté justificada.

Un buen informe presenta cuántas unidades eran elegibles, cuántas se seleccionaron y cuántas aportaron información válida. Una muestra inicialmente probabilística puede terminar en un conjunto de respuestas sesgado si contestar se relaciona con la variable estudiada. Aumentar el número de invitaciones no demuestra por sí solo que ese sesgo desaparezca.

Cómo realizar una selección sin reposición

La selección sin reposición impide repetir unidades. Puede implementarse mediante una permutación aleatoria uniforme de la lista y la elección de sus primeros n identificadores. También existen algoritmos que seleccionan directamente un subconjunto uniforme. El programa debe configurarse para no permitir repetición, no solo generar números aparentemente desordenados.

Una semilla inicializa un generador seudoaleatorio y permite reproducir el resultado bajo condiciones compatibles. No convierte un mal listado en uno completo ni garantiza que cualquier algoritmo sea uniforme. Para reproducibilidad real también importan el orden de entrada, el método, la versión y la forma en que se gestionan los identificadores.

Ordenar un listado por un criterio elegido por el investigador y tomar las primeras filas no constituye un sorteo. Tampoco lo es elegir a quienes están más cerca. Seleccionar cada cierto intervalo a partir de un inicio aleatorio corresponde a otro diseño, cuyas propiedades dependen de la ordenación y no deben confundirse con las del simple.

En el diseño simple, no se reservan cupos por facultad, edad u otro grupo. Cuando interesa garantizar selección dentro de grupos previamente definidos, el muestreo estratificado responde a una organización diferente. La elección depende del objetivo y del marco disponible, sin modificar después del sorteo la composición que se obtuvo.

Una media y su intervalo en un ejemplo

Para estimar la media poblacional mediante una muestra aleatoria simple sin reposición, se utiliza la media muestral. En el marco finito, los valores de la población se consideran fijos y la variación procede de qué subconjunto se selecciona. El promedio de las medias sobre todos los sorteos posibles coincide con la media poblacional.

Considere N = 1.000 expedientes y una muestra de n = 100. Se mide un tiempo con media muestral de 12 días y desviación muestral s = 4 días, calculada con divisor n − 1. Suponga cobertura completa, respuesta de todos los seleccionados y ausencia de valores extremos que dominen el total.

La fracción muestral es f = n/N = 0,10. La varianza estimada de la media es (1 − f)s²/n = 0,9 × 16/100 = 0,144 días cuadrados. El error estándar es su raíz: aproximadamente 0,379 días. El factor 1 − f incorpora la selección sin reposición en una población finita.

Un intervalo aproximado del 95 % puede construirse como media ± t × error estándar. Con t de aproximadamente 1,984 para 99 grados de libertad, el margen es 0,753 días y el intervalo queda cerca de 11,25 a 12,75 días. Es una aproximación, no una garantía exacta para cualquier distribución finita.

Su uso requiere una distribución de la media suficientemente bien aproximada por el procedimiento: tamaño adecuado tanto de la muestra como del resto poblacional y ausencia de unidades dominantes son consideraciones importantes. Con poblaciones muy asimétricas o pocas observaciones, deben evaluarse métodos y condiciones adicionales antes de informar un intervalo de este tipo.

Precisión, corrección finita y comunicación del diseño

La corrección por población finita reduce la varianza respecto a una aproximación que ignore la extracción sin reposición. Cuando n/N es muy pequeño, su efecto es reducido; cuando n se acerca a N, se vuelve decisivo. En un censo completo no queda incertidumbre de selección, aunque pueden persistir otras fuentes de error.

El tamaño necesario depende de la variabilidad, el margen deseado, la confianza y los recursos. Si se ignoran efectos finitos y todo lo demás permanece constante, reducir el margen a la mitad exige aproximadamente cuadruplicar n. No existe un porcentaje universal de población que asegure precisión suficiente para cualquier variable.

Para una proporción, el estimador es la fracción de unidades con la característica. Su incertidumbre también debe reflejar el diseño, y las aproximaciones normales pueden fallar con pocos casos o proporciones cercanas a cero o uno. La probabilidad binomial supone ensayos independientes; la extracción finita sin reposición requiere distinguir ese supuesto.

Al presentar el estudio, describa el marco, el sorteo, n, N, la fracción muestral y la respuesta obtenida. Esa información permite juzgar si las fórmulas corresponden al trabajo realizado. La etiqueta “aleatorio” por sí sola no documenta probabilidades, cobertura ni manejo de incidencias.

Preguntas frecuentes sobre muestreo aleatorio simple

¿Una muestra aleatoria simple queda siempre equilibrada?

No. El azar permite composiciones diferentes y puede producir desequilibrios por grupos. La validez del diseño no depende de una apariencia particular. Si se necesita asegurar presencia por grupos, debe considerarse un diseño apropiado antes de seleccionar.

¿Puede seleccionarse dos veces la misma unidad?

En la versión sin reposición desarrollada aquí, no. Cada unidad participa como máximo una vez en la muestra. La versión con reposición permite repeticiones y tiene otras propiedades; debe declararse cuál se aplica antes de calcular probabilidades e incertidumbre.

¿Puedo reemplazar a quien no contesta por un conocido?

Esa sustitución introduce una selección por conveniencia y no preserva automáticamente el diseño. Registre la no respuesta y aplique un procedimiento previamente justificado. Que la persona sustituta tenga una edad o profesión similar no demuestra que ambas sean intercambiables estadísticamente.