Ecuaciones diferenciales: conceptos y ejemplo resuelto
Aprende a clasificar ecuaciones diferenciales, verificar soluciones y resolver un problema inicial separable con interpretación de sus supuestos.
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En pocas palabras
- Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con una o varias de sus derivadas.
- La solución es una función y debe verificarse en la ecuación y en las condiciones dadas.
- Clasificación y supuestos del modelo orientan el método de solución.
En este artículo
Las ecuaciones diferenciales expresan relaciones entre una función desconocida y sus derivadas. Permiten modelar cambios: crecimiento, enfriamiento, movimiento o variación de concentraciones. Resolverlas consiste en encontrar funciones que satisfagan esas relaciones en un dominio, con las condiciones adicionales que especifique el problema.
A diferencia de una ecuación algebraica elemental que busca números, aquí buscamos una función. Una ecuación puede admitir una familia de soluciones; una condición inicial puede seleccionar una de ellas, siempre que se cumplan los requisitos de existencia y unicidad correspondientes. No basta con obtener una expresión que “parezca” adecuada.
EDO y EDP: la primera clasificación
| Criterio | Qué observar | Ejemplo |
|---|---|---|
| Ordinaria, EDO | Una variable independiente y derivadas ordinarias | dy/dt = −ky. |
| Parcial, EDP | Varias variables independientes y derivadas parciales | Una ecuación de difusión para temperatura en espacio y tiempo. |
| Orden | La derivada de orden más alto | y″ + y = 0 es de segundo orden. |
| Linealidad | La función y sus derivadas aparecen linealmente, con coeficientes que dependen de la variable independiente | y′ + p(t)y = q(t) es lineal. |
La ecuación y′ = y² no es lineal, aunque sólo tenga una derivada de primer orden. En cambio, y′ + t²y = sin(t) es lineal porque el coeficiente t² depende de la variable independiente. Orden y linealidad describen aspectos diferentes; no deben usarse como si fueran la misma clasificación.
Solución general, particular y condición inicial
Una solución general suele contener constantes arbitrarias y describir una familia en un intervalo. Una solución particular fija valores de esas constantes. Un problema de valor inicial combina la ecuación y condiciones en un punto, como y(0) = 12. Para ecuaciones de orden superior pueden requerirse condiciones sobre derivadas, pero su cantidad no garantiza por sí sola existencia y unicidad.
Ejemplo resuelto por separación de variables
Considera un modelo de decaimiento en el que y representa una cantidad positiva, t se mide en horas y k = 0.2 h⁻¹ es constante. La tasa de cambio es proporcional a la cantidad presente: dy/dt = −0.2y, con y(0) = 50. Los números son datos de un ejemplo hipotético, no mediciones de un fenómeno real.
- Para soluciones no nulas, separa variables: dy/y = −0.2 dt.
- Integra: ln|y| = −0.2t + C.
- Despeja la familia no nula: y(t) = A e^(−0.2t).
- Aplica la condición inicial: 50 = A e⁰, de modo que A = 50.
- Obtén y(t) = 50e^(−0.2t), para t ≥ 0 en el contexto del modelo.
- Verifica derivada y condición inicial sustituyendo en el problema original.
Al dividir entre y se excluyó temporalmente y = 0. Esa función también resuelve la ecuación diferencial, aunque no satisface la condición inicial y(0) = 50. Revisar soluciones perdidas por una división es parte del procedimiento, no un detalle opcional.
Elegir un método y reconocer sus límites
Una EDO separable permite reunir funciones de y y de t en lados distintos. Una EDO lineal de primer orden puede abordarse con un factor integrante. Otras requieren técnicas diferentes o aproximaciones numéricas. Identificar la forma antes de aplicar un método evita manipular expresiones sin una estrategia válida.
Una aproximación numérica entrega valores bajo un procedimiento y un tamaño de paso, no una garantía automática de exactitud. Error, estabilidad y sensibilidad a las condiciones pueden importar. En un curso introductorio, al menos compara la aproximación con el comportamiento esperado y explica el intervalo en que se interpreta.
Existencia, unicidad y sentido del modelo
Para problemas y′ = f(t,y), condiciones de continuidad y regularidad respecto de y permiten establecer resultados locales de existencia y unicidad. Cuando esas hipótesis no se cumplen, no puedes concluir automáticamente que no hay solución, pero tampoco aplicar el teorema como si nada cambiara. Además, una solución matemática puede extenderse a valores sin sentido físico para el problema.
Antes de entregar, verifica unidades, intervalo, sustitución y condición inicial. Una ecuación bien resuelta con supuestos inadecuados sigue siendo un mal modelo. Puedes continuar el estudio con los materiales de Ciencias Exactas.
Video para ampliar el tema
Referencias
- OpenStax. Calculus Volume 2, 4.1: Basics of Differential Equations. https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/4-1-basics-of-differential-equations
- OpenStax. Calculus Volume 2, 4.3: Separable Equations. https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/4-3-separable-equations
- UNAM, Instituto de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales, recursos iCartesiLibri. https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/VariosNiveles/iCartesiLibri/recursos/Ecuaciones_Diferenciales/index.html
Autoría
Study Mais
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