Distribución de probabilidad: tipos y ejemplos resueltos

Una distribución de probabilidad describe cómo se asigna probabilidad a los valores o conjuntos de valores de una variable aleatoria. Permite responder preguntas como cuántos archivos podrían fallar en un envío o qué probabilidad hay de que una espera dure entre dos y cinco minutos. Antes de elegir una fórmula, hay que definir la variable y el evento.

La diferencia básica está entre distribuciones discretas, que asignan probabilidad a valores individuales, y distribuciones continuas descritas mediante densidades, donde las probabilidades se obtienen sobre intervalos. Este artículo construye una tabla discreta, calcula eventos y después desarrolla un ejemplo continuo para distinguir masa, densidad y función acumulada.

La variable aleatoria define qué se está contando o midiendo

Una variable aleatoria relaciona resultados de un experimento con números. Si se revisan dos archivos, el resultado detallado puede indicar cuál falló; la variable X puede registrar únicamente el número de archivos fallidos. En ese caso, X toma los valores 0, 1 o 2, y pierde deliberadamente la información sobre su identidad.

El conjunto de valores posibles es el soporte. Para una cuenta, suele ser discreto; para una duración idealizada, puede ser continuo. La elección depende del modelo. Registrar segundos enteros no convierte necesariamente el proceso físico del tiempo en discreto: puede ser solo una decisión de redondeo del instrumento.

Distinguir variable y evento evita errores de interpretación. X es la cuenta; “al menos un fallo” es el evento X ≥ 1. Su probabilidad combina varios valores de la distribución. El NIST define los requisitos de las funciones de probabilidad, separando los casos discretos de los continuos con densidad.

Construir y comprobar una distribución discreta

Suponga un modelo hipotético para el número X de archivos fallidos en un envío de dos archivos. Se asignan las probabilidades 0.50 a ningún fallo, 0.35 a un fallo y 0.15 a dos fallos. Estos valores son supuestos didácticos, no tasas medidas de un servicio ni consecuencias de independencia entre archivos.

La función de masa p(x) = P(X = x) debe ser no negativa y sumar 1 sobre todos los valores posibles. Aquí, 0.50 + 0.35 + 0.15 = 1. Fuera del soporte {0,1,2}, la probabilidad es cero. Una tabla incompleta que omita un resultado posible no puede validarse solo porque sus filas sean positivas.

La probabilidad de al menos un fallo es P(X ≥ 1) = 0.35 + 0.15 = 0.50. También se obtiene por complemento: 1 − P(X = 0) = 0.50. La probabilidad de a lo más un fallo es P(X ≤ 1) = 0.50 + 0.35 = 0.85. Las dos preguntas usan límites distintos.

No es obligatorio que esta tabla pertenezca a una familia con nombre. Si quisiéramos usar una binomial, necesitaríamos justificar ensayos independientes y una misma probabilidad de fallo. La probabilidad binomial desarrolla esas condiciones. Una distribución válida no hereda automáticamente independencia ni un mecanismo particular.

Una función acumulada sirve para ambos tipos de variable

La función de distribución acumulada es F(x) = P(X ≤ x). Está definida para cualquier x real, aunque la variable sea discreta. En el ejemplo, F(x) vale 0 cuando x < 0; 0.50 entre 0 y menos de 1; 0.85 entre 1 y menos de 2; y 1 desde 2 en adelante.

Esta función nunca disminuye al aumentar x, porque acumula resultados. Para cualquier distribución, sus valores están entre 0 y 1. En una variable discreta, los saltos muestran las probabilidades de los valores puntuales. El NIST presenta la relación entre probabilidad y acumulada, además de otras funciones asociadas.

Para a < b, la expresión F(b) − F(a) calcula P(a < X ≤ b). El extremo inferior queda excluido. Así, F(2) − F(1) = 1 − 0.85 = 0.15 corresponde a 1 < X ≤ 2, no a 1 ≤ X ≤ 2. En distribuciones discretas, cambiar una desigualdad puede cambiar la respuesta.

En una distribución continua, densidad no es probabilidad puntual

Una densidad f(x) es una función no negativa cuya área total es 1. La probabilidad de un intervalo se calcula integrando la densidad sobre él. La altura f(x) no representa por sí misma P(X = x). En una distribución absolutamente continua, la probabilidad de cualquier valor exacto es cero.

Considere un tiempo hipotético T distribuido uniformemente entre 2 y 6 minutos. Su densidad es 1/(6 − 2) = 0.25 por minuto dentro del intervalo, y cero fuera de él. El NIST describe la distribución uniforme y sus expresiones. Uniforme significa densidad constante sobre el intervalo especificado.

La probabilidad de una espera entre 3 y 5 minutos es área = (5 − 3) × 0.25 = 0.50. La probabilidad de T ≤ 3 es (3 − 2) × 0.25 = 0.25. El modelo asigna cero a T = 3 exactamente, aunque un registro redondeado pueda mostrar “3 minutos” para toda una franja de tiempos reales.

La acumulada del tiempo uniforme vale 0 antes de 2; (t − 2)/4 entre 2 y 6; y 1 después de 6. Al ser continua, incluir o excluir un extremo no cambia la probabilidad del intervalo. Esto contrasta con la tabla de fallos, donde cada punto del soporte puede tener masa positiva.

En trabajos más avanzados también aparecen distribuciones mixtas, con masa en ciertos valores y una parte continua. Por ejemplo, un modelo podría asignar una probabilidad positiva a espera cero y describir las esperas positivas mediante densidad. La acumulada sigue siendo una herramienta común; la dicotomía inicial no agota todas las posibilidades.

Esperanza y varianza: qué resumen y qué no

La esperanza de una variable discreta se calcula como E(X) = Σ x × p(x), cuando la suma está bien definida. En la tabla de fallos, E(X) = 0 × 0.50 + 1 × 0.35 + 2 × 0.15 = 0.65. Ese valor no es un resultado posible de un envío: es una media teórica del modelo.

El segundo momento es E(X²) = 0 + 0.35 + 4 × 0.15 = 0.95. La varianza resulta 0.95 − 0.65² = 0.5275. La desviación estándar es aproximadamente 0.7263 archivos. La esperanza conserva las unidades de X; la varianza las eleva al cuadrado.

Dos distribuciones pueden compartir media y varianza sin asignar las mismas probabilidades a todos los eventos. Por eso, si la pregunta se refiere a un umbral, conviene calcularlo desde la distribución completa. Un promedio no informa por sí solo la probabilidad de que ocurra un resultado extremo.

Del modelo a los datos observados

Una distribución teórica establece probabilidades bajo supuestos; una distribución empírica resume frecuencias observadas. Si en diez envíos aparecen cinco sin fallos, tres con uno y dos con dos, las frecuencias relativas son 0.50, 0.30 y 0.20. No coinciden exactamente con el modelo, pero esa diferencia requiere un análisis de variación y diseño para interpretarse.

La estadística inferencial conecta datos y modelos con incertidumbre. Elegir una familia por la apariencia de un histograma no basta: examine soporte, mecanismo, independencia y forma de medición. Los parámetros estimados también son inciertos y pueden cambiar si la muestra no representa el proceso de interés.

¿Las probabilidades de una tabla pueden sumar 0.99?

Puede ocurrir por redondeo de valores que originalmente sumaban 1. Compruebe la precisión antes de corregirlos. Si los números exactos suman 0.99, falta masa o hay un error de especificación. No conviene normalizar una tabla sin investigar primero si se omitió un resultado posible.

¿Todos los datos continuos siguen una normal?

No. Continuo describe el tipo de variable o distribución, mientras que normal identifica una familia concreta. Una duración no negativa y asimétrica puede requerir otro modelo. Antes de aplicar fórmulas, defina soporte, evento y supuestos, y verifique que el resultado sea una probabilidad entre 0 y 1.